অবকলনের সহজ পাঠ
প্রথম পর্ব
Easy way to Learn Calculus
⎸অন্তরকলজের গাণিতিক প্রকাশ ⎸
$\small x$ এর সাপেক্ষে $\small y$ এর অন্তরকলজ হল $\small \frac{dy}{dx}$
$\small \frac{dy}{dx}$এটির অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ প্রতীকগুলো হল: $\small y^{'},f^{'}(x),y_1$
প্রাথমিক তত্ত্ব থেকে অন্তরকলজ নির্ণয়:
1.প্রাথমিক তত্ত্ব থেকে অন্তরকলজ নির্ণয় করো|
a.$\small y =\sqrt x,x=2$ বিন্দুতে
উত্তর:
ধরি,$\small f(x)=\sqrt x$
$\small f^{'}(2)=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$
$\small =lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt (2+h)-\sqrt 2}{h}$
$\small =lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)-2}{\sqrt(2+h)+\sqrt 2}$
$\small \frac{1}{2\sqrt 2}$
নিজে করো:
1.$\small y =\frac{1}{\sqrt x},x=2$ বিন্দুতে
2.$\small y =x^{\frac{2}{3}},x=2$ বিন্দুতে
3.$\small y =x^{3}+\frac{1}{x^3},x=1$ বিন্দুতে
4.$\small y =log_{e}(sinx),x=\frac{\pi}{4}$ বিন্দুতে
Hint:
$\small f^{'}(\frac{\pi}{4})=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(\frac{\pi}{4}+h)-f(\frac{\pi}{4})}{h}$
$\small =lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_{e}sin(\frac{\pi}{4}+h)-log_{e}sinx}{h}$
ধরি;$\small sin\frac{\pi}{4}=u$,এবং$\small sin(\frac{\pi}{4}+h)=u+k $
2.$\small x=h$ বিন্দুতে $\small f(x)$ অন্তরকলনযোগ্য হলে,$\small lim_{x\rightarrow h}\frac{(x+h)f(x)-2hf(h)}{x-h}$ এর মান নির্ণয় করো |[WBHS1986]
উত্তর:
=$\small lim_{x\rightarrow h}\frac{(x-h+2h)f(x)-2hf(h)}{x-h}$
=$\small f(h)+2hf^{'}(h)$
3.$\small f(x)=|x|$ এর x=0 তে অন্তরকলজ আছে কি না পরীক্ষা করো|[WBHS 1994]
উত্তর:
$\small |x|=x,x>0$
$\small =0,x=0$
$\small =-x,x<0$
LHD
=$\small lim_{x\rightarrow 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x}$
=$\small lim_{x\rightarrow 0-}\frac{-x-0}{x}$
=$\small -1$
RHD
=$\small lim_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}$
=$\small lim_{x\rightarrow 0+}\frac{x-0}{x}$
=$\small 1$
$\small LHD\neq RHD$
x=0 বিন্দুতে $\small f(x)$ অপেক্ষকটির অন্তরকল্জ নেই|
⎸কত গুলি আদর্শ অপেক্ষকের অন্তরকলজ ⎸
1.যদি $\small f(x)=k$, (k একটি ধ্রুবক হয়) তাহলে $\small f^{'}(x)=0$
উদাহরণ:যদি $\small y=5$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=?$
উত্তর: $\small 5$ একটি ধ্রুবক তাই $\small \frac{d}{dx}(5)=0$
2.যদি $\small f(x)=x^n$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=nx^{n-1}$
উদাহরণ:যদি $\small y=x^7$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=?$
উত্তর: $\small y=x^7$ , $\small \frac{d}{dx}(x^7)$ =$\small 7x^{7-1}=7x^6$
3.যদি $\small f(x)=e^{mx}$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=me^{mx}$
উদাহরণ:যদি $\small y=e^{5x}$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=?$
উত্তর: $\small y=e^{5x}$ একটি ধ্রুবক তাই $\small \frac{d}{dx}(e^{5x}) =5e^{5x}$
4.যদি $\small f(x)=a^{mx}$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=ma^{mx}log_e(a)$
উদাহরণ: যদি $\small f(x)=2^{3x}$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=3\times 2^{3x}log_e(2)$
5.যদি $\small f(x)=log_{e}x$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=\frac{1}{x}$
6.যদি $\small f(x)=sin(mx)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=mcos(mx)$
উদাহরণ:যদি $\small f(x)=sin(5x)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=5cos(5x)$
7.যদি $\small f(x)=cos(mx)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-msin(mx)$
উদাহরণ:যদি $\small f(x)=cos(9x)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-9sin(9x)$
8.যদি $\small f(x)=tan(mx)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=msec^2(mx)$
উদাহরণ:যদি $\small f(x)=tan(5x)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=5sec^2(5x)$
9.যদি $\small f(x)=cosec(mx)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-mcosec(mx)cot(mx)$
উদাহরণ: যদি $\small f(x)=cosec(7x)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-7cosec(7x)cot(7x)$
10.যদি $\small f(x)=sec(mx)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=msec(mx)tan(mx)$
উদাহরণ: যদি $\small f(x)=sec(8x)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=8sec(8x)tan(8x)$
11.যদি $\small f(x)=cot(mx)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-mcosec^2(mx)$
উদাহরণ: যদি $\small f(x)=cot(9x)$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-9cosec^2(9x)$
13.যদি $\small f(x)=cos^{-1}x$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14. যদি $\small f(x)=tan^{-1}x$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
15.যদি $\small f(x)=cot^{-1}x$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
16.যদি $\small f(x)=cosec^{-1}x$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
17.যদি $\small f(x)=sec^{-1}x$ হয় তাহলে $\small f^{'}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
⎸অন্তরকলজের ধর্ম ⎸
ধরি,$\small c$= ধ্রুবক ও $\small f(x)=u$,$\small g(x)=v$ তাহলে
1.$\small \frac{d}{dx}(cu)=c\frac{du}{dx}$
উদাহরণ: যদি $\small y=50 sin(2x)$ হয় তাইলে$\small \frac{dy}{dx}=50\times 2cos(2x)=100cos(2x)$
2.$\small \frac{d}{dx}(u\pm v)=\frac{d}{dx}(u)\pm \frac{d}{dx}v$
উদাহরণ: যদি $\small y=x^2+e^{3x}-sin^{-1}(x)$ হয়,
তাইলে$\small \frac{dy}{dx}=2x+3e^{3x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
3.$\small \frac{d(uv)}{dx}$=$\small u\frac{du}{dx}+v\frac{dv}{dx}$
$\small y=x^5cos(8x)$ হয়,
তাহলে $\small \frac{d(x^5cos8x)}{dx}$
=$\small x^5\frac{d[cos(8x)]}{dx}+cos(8x)\frac{d[x^5]}{dx}$
= $\small -8x^5[sin(8x)]+5cos(8x)x^4$
4. $\small \frac{d[\frac{u}{v}]}{dy}$=$\small \frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$
উদাহরণ:যদি $\small y=\frac{e^x}{x+1}$হয়,
তাহলে$\small \frac{d[\frac{e^x}{x+1}]}{dy}$
=$\small \frac{(x+1)\frac{d(e^x)}{dx}-e^x\frac{d(x+1)}{dx}}{(x+1)^2}$
=$\small \frac{xe^x}{(x+1)^2}$
- Learn Differential Calculus in 5 Days | অবকলনের সহজ পাঠ - প্রথম পর্ব | DAY 2
- Learn Differential Calculus in 5 Days | অবকলনের সহজ পাঠ - প্রথম পর্ব | DAY 3
- Learn Differential Calculus in 5 Days | অবকলনের সহজ পাঠ - প্রথম পর্ব | DAY 4
- Learn Differential Calculus in 5 Days | অবকলনের সহজ পাঠ - প্রথম পর্ব | DAY 5
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক কর: Pothon Pathon Facebook Page
Tags: Class 12 Model Activity Task, Model Activity Task Class 12 Math, derivative, derivative formulas, derivative meaning, derivative calculator, derivative calculus, derivative in bengali, derivative rules, derivative examples, derivative of tanx, derivative of log x, derivative of secx, chain rule, অবকলন , differentiation, differentiation formula, differentiation equation, differentiation of tan x, differentiation of log x, differentiation product rule, differentiation chain rule,
Post a Comment
Please put your valuable comments.