Learn Matrix|ম্যাট্রিক্স|Part-1| Class 12

Matrix

Class - 12

Day: 1

আজ আমরা ম্যাট্রিক্স অধ্যায়ের কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য ও সমাধান শিখবো|

ম্যাট্রিক্স কী?(What is Matrix?)

সহজ ভাষায়, ম্যাট্রিক্স হল একটি সারি-স্তম্ভ ভিত্তিক কাঠামো যার ভেতরে প্রতিটি সারি ও স্তম্ভের জন্য একটি নির্দিষ্ট পদ(element) বর্তমান।

উদাহরণ (1): ধরুন শিলিগুড়িতে গ্রীষ্মকালে সর্বোচ্চ তাপমাত্রা (Highest Temperatute)$\small 33^{o}$ ও সর্বনিম্ন তাপমাত্রা(Lowest Temoaratute)$\small 23^{o}$, কলকাতায় সর্বোচ্চ তাপমাত্রা(HT=Highest Temperatute) $\small 42^{o}$ও সর্বনিম্ন তাপমাত্রা(Lowest Temparature) $\small 32^{o}$

ধরি, H ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপরি উল্লিখিত তথ্য পরিবেশন করা হলো:

$\small H =\begin{bmatrix} 33_{S,HT} & 23_{S,LT} \\ 42_{K,HT}& 5_{K,LT}\end{bmatrix}$, 

S,HT= Highest Temperature at Siliguri

S,LT= Lowest Temperature at Siliguri

K,HT= Highest Temperature at Kolkata

K,LT= Lowest Temperature at Kolkata

ম্যাট্রিক্সের ক্রম: (Order of a Matrix)

একটি ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা ও স্তম্ভ সংখ্যা নির্ধারনের জন্য ক্রম নির্ধারন করা হয়। ধরি, একটি ম্যাট্রিক্স A তার ক্রম $\small (m \times n)$ এর দ্বারা বোঝানো হয় ম্যাট্রিক্সটির সারি সংখ্যা m ও স্তম্ভ সংখ্যা n।

$\small A_{m\times n}=a_{ij}$, $\small i=1(1)m,j=1(1)n$

$\small a_{ij}$ দ্বারা ম্যাট্রিক্সের $\small ij$ তম পদ নির্দেশ করা হয় বা বলা যায় i তম  সারি ও j তম স্তম্ভে অবস্থিত পদ নির্দেশ করা হয়।

উপরের উদাহরনে সারি সংখ্যা ও স্তম্ভ সংখ্যা 2

উদাহরণ: A ম্যাট্রিক্স নির্ধারণ করো, যখন $\small a_{ij}=\frac{(i+j)^2}{2}$.

সারি ম্যাট্রিক্স: (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে শুধুমাত্র একটি সারি থাকে তাকে  বলে সারি ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ: উপরের উদাহরনের থেকে বলে যায় $\small \begin{bmatrix} 33 & 23 \end{bmatrix}$

স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স: (Coloumn Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে শুধুমাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে বলে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স। 

উদাহরণ:  উপরের উদাহরনের থেকে বলে যায় $\small \begin{bmatrix} 33\\42 \end{bmatrix}$

শূন্য ম্যাট্রিক্স: (Null Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান শূন্য তাকে বলে শূন্য ম্যাট্রিক্স।

$\small \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$

Upper triangular Matrix:

$\small A=[a_{ij}]$ Matrix এর $\small a_{ij}=0,\forall i>j$ হলে তাকে বলে Upper triangular Matrix।

$\small \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0& 4  & 5\\ 0& 0 & 6 \end{bmatrix}$

Lower triangular Matrix:

$\small B =[b_{ij}]$ Matrix এর $\small b_{ij}=0,\forall i<j$ হলে তাকে বলে Lower triangular Matrix।

$\small \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2& 3  & 0\\ 1& 2& 6 \end{bmatrix}$

কর্ণ ম্যাট্রিক্স: (Diagonal Matrix):

$\small B =[b_{ij}]$ Matrix এর $\small b_{ij},\forall i=j$ পদগুলি ব্যতীত বাকি পদ শূন্য হলে তাকে বলে কর্ণ ম্যাট্রিক্স।

$\small \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 3  & 0\\ 0& 0& 6 \end{bmatrix}$

একক ম্যাট্রিক্স: (Identity Matrix)

$\small B =[b_{ij}]$ Matrix এর $\small b_{ij}=1,\forall i=j$ পদগুলি ব্যতীত বাকি পদ শূন্য হলে তাকে বলে  একক ম্যাট্রিক্স।

$\small \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1  & 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

একটি ম্যাট্রিক্সের সাথে স্কেলারের গুণ: (Matrix scaler multiplication)

একটি ম্যাট্রিক্স A এর সাথে স্কেলার k গুণ করলে ম্যাট্রিক্সের পদগুলি হয় $\small ka_{ij}$ যখন  $\small i=1(1)m,j=1(1)n$।

তিনটি ম্যাট্রিক্স এইরূপে বন্টিত $\small 3X-2Y+4Z=0$

$\small X=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4& 5\end{bmatrix}$, 

$\small Y=\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 5& 6\end{bmatrix}$, Z ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

উত্তর: 

$\small 3X=\begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 12& 15\end{bmatrix}$, 

$\small 2Y=\begin{bmatrix} 6& 8 \\ 10& 12\end{bmatrix}$,

$\small 3X-2Y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2& 3\end{bmatrix}$, 

$\small 3X-2Y+4Z=0$ এর থেকে পাই,

$\small Z=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -2& -3\end{bmatrix}$

1. $\small \begin{bmatrix} x^2\\ y^2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2x\\ 3y \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 7\\ -3 \end{bmatrix}$ হলে $\small x$ ও  $\small y$ এর মান কত?

2. $\small \begin{bmatrix} x&5 \\ 7  & y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3&4 \\ 1  &2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7&14 \\ 15  &14\end{bmatrix}$ নীচের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ থেকে $\small x$ ও  $\small y$ এর মান কত?

দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল বা বিয়োগফল: (Addition and Subtraction of Matrices)

দুটি ম্যাট্রিক্স $\small A_{m\times n}$ ও $\small B_{m\times n}$ এর যোগফল বা বিয়োগফলের অর্থ $\small A_{m\times n}+B_{m\times n}$ বা $\small A_{m\times n}-B_{m\times n}$ এর পদগুলি হবে : $\small a_{ij}+b_{ij}$ বা $\small a_{ij}-b_{ij}$ যখন  $\small i=1(1)m,j=1(1)n$।

Properties: 

(i)$\small A_{m\times n}+B_{m\times n}=B_{m\times n}+A_{m\times n}$
(ii)$\small (A_{m\times n}+B_{m\times n})+C_{m\times n}=A_{m\times n}+B_{m\times n}+C_{m\times n}$
(iii)$\small A_{m\times n}+O_{m\times n}= O_{m\times n}+A_{m\times n}$
(iv)$\small A_{m\times n}+(-A_{m\times n})=O_{m\times n}$

উদাহরণ: 

X ম্যাট্রিক্স নির্ধনারণ করো:

$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -7 \end{bmatrix}+X=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ 

উত্তর: $\small X=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -7 \end{bmatrix}$

or, $\small X=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -4 & 10 \end{bmatrix}$

নিজে করো: 

X ম্যাট্রিক্স নির্ধনারণ করো:

1. $Y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -7 \end{bmatrix}$, এবং  $Z=\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ হলে, $\small X$ এর মান নির্ণয় করো, যখন $\small X+Y+Z=0$

2. $\small 2\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ -1&-3 & 2 \end{bmatrix}+k\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3&4 & 5 \end{bmatrix}$ হয়, তবে k এর মান কত হবে?

দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল: (Multiplication of two matrices)

দুটি ম্যাট্রিক্স $\small A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}$ ও $\small B_{n\times p}(b_{jk})_{n\times p}$ এর গুণফল $\small C_{m\times p}=(c_{ik})_{m\times p}$ হলে 

$\small c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$

Properties: 

(i)$\small k(A+B)=kA+kB$

(ii)$\small (k+l)A=kA+lA$

(iii)$\small (kl)A=k(lA)=l(kA)$

(iv)$\small (-k)A=-(kA)=k(-A)$

(v)$\small 1.A=A$

(vi)$\small (-1)A=-A$

(vii)$\small AB=BA$ এটি সর্বদা সত্য নয়।(Matrix multiplication is not commutative)

(viii)$\small (AB)C=A(BC)$(Associative law holds for matrix multi-plication)

(ix)$\small (A+B)C=AC+BC$(Matrix multiplication is distributive with respect to addition)

(x)$\small AB=O$(The product of two non-zero matrices may be a zero matrix)

উদাহরণ: যদি, $X=\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, এবং $Y=\begin{bmatrix}0 & 11 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$ হলে, প্রমান করো $\small XY\neq YX$|

একটি ম্যাট্রিক্সের i তম  সারির পদগুলির সাথে ওপর ম্যাট্রিক্সের j তম স্তম্ভের পদগুলির গুনফলের যোগফল হল, সেই দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণ করার ফলে সৃষ্ট ম্যাট্রিক্সের (ij) তম পদ।

উত্তর:

$\small XY= \begin{bmatrix} 3\times 0+5\times 0 & 3\times 11+5\times 7 \\ 0\times 0+0\times 0 & 0\times 11+0\times 7\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 0 & 68 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

$\small YX= \begin{bmatrix} 0\times 3+11\times 0 & 0\times 5+11\times 0\\ 0\times 3+0\times 7 & 0\times 5+0\times 7\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

$\small XY\neq YX$

নিজে করো:

1. $\small A= \begin{bmatrix} a & h  & g \\  h & b  & f \\ g & f & c\end{bmatrix}$, 

$\small B=\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}$

$\small C=\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}$ হলে, দেখাও যে $\small C(AB)=[ax^2+by^2|cz^2+2hxy+2fyz+2gzx]$

2. যদি $\small A =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ p & q & r \end{bmatrix}$ হয় তাইলে প্রমান করো $\small A^{3}=pI+qA+rA^{2}$

3. যদি $\small A= \begin{bmatrix} 2&-1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ ও $\small B=\begin{bmatrix} 1&0 \\ -1&-1 \end{bmatrix}$ হয় তাইলে প্রমান করো $\small (A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$

4. যদি $\small A= \begin{bmatrix} 2&-1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ এবং $\small A^2+x I_{2}=yA$ হয়, তবে x ও y এর মান নির্ণয় করো।

5. যদি A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্সের এরূপ হয় যে $\small AB=B$ এবং $\small BA=A$, তবে দেখাও যে $\small A^2+B^2=A+B$

6. যদি $\small A= \begin{bmatrix} 4&2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ হয়, তবে দেখাও যে $\small (A-2I)(A-3I)=\begin{bmatrix} 4&0 \\ 0&4 \end{bmatrix}$

বর্গ ম্যাট্রিক্সের ধনাত্মক অখন্ড ঘাত (Positive integral powers of a square matrix):

(i) $\small A^{n+1}=A^{n}.A$

(ii)$\small A^{m+n}=A^{m}.A^{n}$

(iii)$\small A^{mn}=(A^{m})^{n}$

1. যদি $\small A=\begin{bmatrix} cos\theta & isin\theta \\ isin\theta& cos\theta \end{bmatrix}$ হয় তবে দেখাও $\small A^{n}=\begin{bmatrix} cos\space n\theta & isin\space n\theta \\ isin\space n\theta& cos\space n\theta \end{bmatrix}$ হবে।

2. যদি $\small A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ হয় তবে দেখাও$\small A^{n}= \begin{bmatrix} n & n \\ 0&n\end{bmatrix}$ হবে।
3. যদি $\small A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0&0\end{bmatrix}$ হয় তবে দেখাও$\small (aI+bA)^{n}=a^n I+n a^{n-1} A$ হবে।

দুটি ম্যাট্রিক্সের তুলনা : (Comparison between two matrices)

দুটি ম্যাট্রিক্স $\small A_{m\times n}$ ও $\small B_{m\times n}$সমান হওয়ার শর্ত: $\small a_{ij}=b_{ij}$ যখন  $\small i=1(1)m,j=1(1)n$।

1. $\begin{bmatrix} x+y & y-z \\ z-2x & y-x \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ নীচের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ থেকে $\small x,y,z$ এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর: দুটি ম্যাট্রিক্স তুলনা করে পাই 

$\small x+y=3$

$\small z-2x=1$

$\small y-x=-1$

$\small y-z=-4$

সমীকরণ সমাধান করলে পাওয়া যাবে $\small x,y,z$ এর মানহবে যথাক্রমে $\small 2,1,5$

নিজে করো:

নীচের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ থেকে $\small x,y,z$ এর মান নির্ণয় করো।

1.$\small \begin{bmatrix} 2x+1 & 3y \\ 0& y^2-5y \end{bmatrix}$=$\small \begin{bmatrix} x+3& y^2+2 \\ 0 & -6 \end{bmatrix}$

Tags: matrix in bengali, matrix problem class 12, matrix multiplication, matrix meaning in bengali, matrix addition, matrix algebra, matrix analysis, a matrix is invertible if, a matrix is said to be symmetric if, matrix class 12, matrix transpose, matrix definition, matrix diagonalization, matrix diagonalization calculator, matrix determinant calculator, matrix division, matrix example, matrix equation,ম্যাট্রিক্স, সারি ম্যাট্রিক্স, দুটি ম্যাট্রিক্সের তুলনা, স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স, মেট্রিক্সের যোগ, ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ, দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল,