Part-3|Concept of Probability Theory|সম্ভাবনা তত্ত্ব| Class 12|

https://www.pothonpathon.online/2021/08/concept-of-probability-part-3.html


Concept of Probability Theory

Part-3

Class 12


গণিতের উচ্চতর শিক্ষার ক্ষেত্রে সম্ভাবনা তত্ত্বের গুরুত্ব অপরিসীম। আজ আমরা সম্ভাবনা তত্ত্বের কিছু গুরুত্বপূর্ণ দিক নিয়ে আলোচনা করবো। 

Example : যদি $\small P(A\cap B)=\frac{5}{13}$ হয়, তাহলে $\small P(A^{c}\cup B^{c})=?$

উত্তর: $\small P(A^{c}\cup B^{c})=1-P(A\cap B)=1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13}$

Example : যদি দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B হয় ও $\small P(A)=\frac{1}{2},P(A\cup B)=\frac{2}{3}$ তাহলে P(B) এর মান কত?

উত্তর: $\small P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

=$\small P(B)$

=$\small \frac{2}{3}-\frac{1}{2}$

=$\small \frac{4}{6}-\frac{3}{6}$

=$\small \frac{1}{6}$

Example : $\small P(A\cup B)=\frac{3}{4}$,$\small P(A\cap B)=\frac{1}{4}$,$\small P(A)=\frac{2}{3}$ হলে, $\small P(A^c \cap B)=?$

উত্তর: $\small P(A^c \cap B)=P(B)-P(A\cap B)$

or,$\small P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

or,$\small P(A\cup B)- P(A)+P(A\cap B)=P(B)$

or, $\small P(B)=\frac{1}{3}$

$\small P(A^c \cap B)=P(B)-P(A\cap B)$

= $\small \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

=$\small \frac{1}{12}$

Example:

A,B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ, যদি $\small P(B)=\frac{3}{2}P(A),P(C)=\frac{1}{3}P(B)$ হয় তবে $\small P(C)$ নির্নয় করো।

উত্তর: 

$\small P(A)=\frac{2}{3}P(B)=\frac{2}{3}.3.P(C)=2P(C)$

$\small A\cup B\cup C=S$

=$\small P(A\cup B\cup C)=1$

=$\small P(A)+P(B)+P(C)=1$

=$\small 2P(C)+3P(C)+P(C)=1$

=$\small P(C)=\frac{1}{6}$

Example :

তিনটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা একবার টস করা হয়। সমসম্ভব পরীক্ষার ফলসমূহের নমুনা দেশ লেখো।

(ক) কমপক্ষে একটি হেড 

(খ) ঠিক একটি টেল পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

উত্তর:

নমুনা দেশ (S)={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}, n(S)=8

(ক) ধরি, A  দ্বারা হেড না পড়ার ঘটনাকে নির্দেশ করে, $\small P(A)=\frac{1}{8}$

সুতরাং, কমপক্ষে একটি হেড পড়ার সম্ভাবনা 

$\small P(A^{c})=1-P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

(খ) ঠিক একটি টেল পড়ার ঘটনা(B) দেখা যায় এই ক্ষেত্রে:{HHT,HTH,THH}

$\small P(B)=\frac{3}{8}$

Example :

একটি ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে নিক্ষেপ করলে (ক) দুটি পাশাতে 4 পড়ার সম্ভাবনা (খ) দুটি পাশাতে একই সংখ্যা পড়ার (গ) একটিতে 2 ও অপরটিতে 5 পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

উত্তর: দুটি পাশাকে একসাথে নিক্ষেপ করলে $\small n(S)=6\times 6= 36$

S= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

P(A) = দুটি পাশাতে 4 পড়ার সম্ভাবনা 

         =$\small \frac{1}{36}$, A={4,4}

P(B) = দুটি পাশাতে একই সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা

        =$\small \frac{6}{36}$, B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

P(C) = একটিতে 2 ও অপরটিতে 5 পড়ার সম্ভাবনা

        = $\small \frac{2}{36}$, C={(2,5),(5,2)}

Example :

HOME শব্দ থেকে উদ্যেশ্যহীন ভাবে দুটি অক্ষর তোলা হলো, (ক) দুটি অক্ষরই স্বরবর্ণ (খ) একটি নির্বাচিত সংখ্যা M হওয়ার সম্ভাবনা (গ) কমপক্ষে একটি স্বরবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত হবে?

উত্তর: S={(H,O),(H,M),(H,E),(O,M),(O,E),(M,E)}

(ক) A =দুটি অক্ষরই স্বরবর্ণ={(O,E)}, P(A)=$ \small \frac{1}{6}$

(খ) B= একটি নির্বাচিত সংখ্যা M ={(H,M),(O,M),(M,E)},P(B)=$\small \frac{3}{6}$

(গ) C=কমপক্ষে একটি স্বরবর্ণ= {(H,O),(H,E),(O,M),(O,E),(M,E)}=$\small \frac{5}{6}$

Example :

একটি থলিতে 5 টি সাদা বল ও 7 টি লাল বল আছে। থলি থেকে যথেচ্ছ ভাবে 4 টি বল তোলা হলো।(ক) চারটি বল সাদা হবে (খ) দুটি বল লাল হবে ও দুটি বল সাদা হবে তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

উত্তর: সর্বমোট বল আছে 12 টি|

A= চারটি বল সাদা হবে

B= দুটি বল লাল হবে ও দুটি বল সাদা হবে 

n(S)= 12 টি বল থেকে 4 টি বল তোলার ঘটনা = $\small \binom{12}{4}$

n(A) = 5 টি সাদা বল থেকে 4 টি সাদা বল তোলার ঘটনা = $\small \binom{5}{4}$

$\small P(A)=\frac{ \binom{5}{4}}{\binom{12}{4}}$

n(B)= দুটি বল লাল হবে ও দুটি সাদা বল তোলার ঘটনা= $\small \binom{7}{2}.\binom{5}{2}$

$\small P(A)=\frac{\binom{7}{2}.\binom{5}{2}}{\binom{12}{4}}$

$\small P(B)=\frac{\binom{7}{2}.\binom{5}{2}}{\binom{12}{4}}$

Example :

52 টি তাসের প্যাকেট থেকে যথেচ্ছ ভাবে 3 টি তাস টানা হলো। তিনটি তাসের মধ্যে 2 টি টেক্কা (Ace) ও 2 টি ইস্কাবন (Spade)হওয়ার সম্ভাবনা নির্নয় করো।

উত্তর: 52 টি তাসের প্যাকেট থেকে যথেচ্ছ ভাবে 3 টি তাস টানা হলে, $\small n(S)=\binom{52}{3}$

A= তিনটি তাসের মধ্যে 2 টি টেক্কা (Ace) পাওয়ার ঘটনা, n(A)=$\small \binom{4}{2}.\binom{48}{1}$

52 টি তাসের মধ্যে 4 টি টেক্কা আছে। সুতরাং 52 টি তাসের থেকে 3 টি তাস তুলতে হলে,  ঘটনার জন্য 4 টি টেক্কা থেকে 2 টি টেক্কা তুলতে হবে, বাকি 48 টি তাসের থেকে 1 টি তাস তুলতে হবে।

B= 2 টি ইস্কাবন (Spade)হওয়ার ঘটনা n(B)=$\small \binom{13}{1}.\binom{39}{1}$

52 টি তাসের মধ্যে 13 টি ইস্কাবন আছে। সুতরাং 52 টি তাসের থেকে 3 টি তাস তুলতে হলে, B ঘটনার জন্য 13 টি ইস্কাবন থেকে 2 টি ইস্কাবন তুলতে হবে, বাকি 39 টি তাসের থেকে 1 টি তাস তুলতে হবে।

P(A)=$\small \frac{\binom{4}{2}.\binom{48}{1}}{\binom{52}{3}}$

P(B) $\small \frac{\binom{13}{1}.\binom{39}{1}}{\binom{52}{3}}$

Tags: probability formulas, probability and statistics, probability meaning, probability and non probability sampling, probability distribution function, outcomes of an experiment, probability meaning in bengali, probability and statistics book, probability and statistics mcq

তোমাদের কোনো প্রশ্ন বা মতামত থাকলে তা তোমরা এই পোস্টের নিচে থাকা কমেন্ট বক্সে জানাতে পারো ।

আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক কর: Pothon Pathon Facebook Page

এছাড়া অন্যান্য প্রশ্নের উত্তর পেতে আমাদের মেল করতে পারো | আমাদের মেল আইডি হল: pothonpathononline@gmail.com

0/Post a Comment/Comments

Please put your valuable comments.

Previous Post Next Post