Concept of Probability Theory
Part-3
Class 12
গণিতের উচ্চতর শিক্ষার ক্ষেত্রে সম্ভাবনা তত্ত্বের গুরুত্ব অপরিসীম। আজ আমরা সম্ভাবনা তত্ত্বের কিছু গুরুত্বপূর্ণ দিক নিয়ে আলোচনা করবো।
Example : যদি $\small P(A\cap B)=\frac{5}{13}$ হয়, তাহলে $\small P(A^{c}\cup B^{c})=?$
উত্তর: $\small P(A^{c}\cup B^{c})=1-P(A\cap B)=1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13}$
Example : যদি দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B হয় ও $\small P(A)=\frac{1}{2},P(A\cup B)=\frac{2}{3}$ তাহলে P(B) এর মান কত?
উত্তর: $\small P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
=$\small P(B)$
=$\small \frac{2}{3}-\frac{1}{2}$
=$\small \frac{4}{6}-\frac{3}{6}$
=$\small \frac{1}{6}$
Example : $\small P(A\cup B)=\frac{3}{4}$,$\small P(A\cap B)=\frac{1}{4}$,$\small P(A)=\frac{2}{3}$ হলে, $\small P(A^c \cap B)=?$
উত্তর: $\small P(A^c \cap B)=P(B)-P(A\cap B)$
or,$\small P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
or,$\small P(A\cup B)- P(A)+P(A\cap B)=P(B)$
or, $\small P(B)=\frac{1}{3}$
$\small P(A^c \cap B)=P(B)-P(A\cap B)$
= $\small \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
=$\small \frac{1}{12}$
Example:
A,B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ, যদি $\small P(B)=\frac{3}{2}P(A),P(C)=\frac{1}{3}P(B)$ হয় তবে $\small P(C)$ নির্নয় করো।
উত্তর:
$\small P(A)=\frac{2}{3}P(B)=\frac{2}{3}.3.P(C)=2P(C)$
$\small A\cup B\cup C=S$
=$\small P(A\cup B\cup C)=1$
=$\small P(A)+P(B)+P(C)=1$
=$\small 2P(C)+3P(C)+P(C)=1$
=$\small P(C)=\frac{1}{6}$
Example :
তিনটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা একবার টস করা হয়। সমসম্ভব পরীক্ষার ফলসমূহের নমুনা দেশ লেখো।
(ক) কমপক্ষে একটি হেড
(খ) ঠিক একটি টেল পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
উত্তর:
নমুনা দেশ (S)={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}, n(S)=8
(ক) ধরি, A দ্বারা হেড না পড়ার ঘটনাকে নির্দেশ করে, $\small P(A)=\frac{1}{8}$
সুতরাং, কমপক্ষে একটি হেড পড়ার সম্ভাবনা
$\small P(A^{c})=1-P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
(খ) ঠিক একটি টেল পড়ার ঘটনা(B) দেখা যায় এই ক্ষেত্রে:{HHT,HTH,THH}
$\small P(B)=\frac{3}{8}$
Example :
একটি ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে নিক্ষেপ করলে (ক) দুটি পাশাতে 4 পড়ার সম্ভাবনা (খ) দুটি পাশাতে একই সংখ্যা পড়ার (গ) একটিতে 2 ও অপরটিতে 5 পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
উত্তর: দুটি পাশাকে একসাথে নিক্ষেপ করলে $\small n(S)=6\times 6= 36$
S= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
P(A) = দুটি পাশাতে 4 পড়ার সম্ভাবনা
=$\small \frac{1}{36}$, A={4,4}
P(B) = দুটি পাশাতে একই সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
=$\small \frac{6}{36}$, B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
P(C) = একটিতে 2 ও অপরটিতে 5 পড়ার সম্ভাবনা
= $\small \frac{2}{36}$, C={(2,5),(5,2)}
Example :
HOME শব্দ থেকে উদ্যেশ্যহীন ভাবে দুটি অক্ষর তোলা হলো, (ক) দুটি অক্ষরই স্বরবর্ণ (খ) একটি নির্বাচিত সংখ্যা M হওয়ার সম্ভাবনা (গ) কমপক্ষে একটি স্বরবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত হবে?
উত্তর: S={(H,O),(H,M),(H,E),(O,M),(O,E),(M,E)}
(ক) A =দুটি অক্ষরই স্বরবর্ণ={(O,E)}, P(A)=$ \small \frac{1}{6}$
(খ) B= একটি নির্বাচিত সংখ্যা M ={(H,M),(O,M),(M,E)},P(B)=$\small \frac{3}{6}$
(গ) C=কমপক্ষে একটি স্বরবর্ণ= {(H,O),(H,E),(O,M),(O,E),(M,E)}=$\small \frac{5}{6}$
Example :
একটি থলিতে 5 টি সাদা বল ও 7 টি লাল বল আছে। থলি থেকে যথেচ্ছ ভাবে 4 টি বল তোলা হলো।(ক) চারটি বল সাদা হবে (খ) দুটি বল লাল হবে ও দুটি বল সাদা হবে তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
উত্তর: সর্বমোট বল আছে 12 টি|
A= চারটি বল সাদা হবে
B= দুটি বল লাল হবে ও দুটি বল সাদা হবে
n(S)= 12 টি বল থেকে 4 টি বল তোলার ঘটনা = $\small \binom{12}{4}$
n(A) = 5 টি সাদা বল থেকে 4 টি সাদা বল তোলার ঘটনা = $\small \binom{5}{4}$
$\small P(A)=\frac{ \binom{5}{4}}{\binom{12}{4}}$
n(B)= দুটি বল লাল হবে ও দুটি সাদা বল তোলার ঘটনা= $\small \binom{7}{2}.\binom{5}{2}$
$\small P(A)=\frac{\binom{7}{2}.\binom{5}{2}}{\binom{12}{4}}$
$\small P(B)=\frac{\binom{7}{2}.\binom{5}{2}}{\binom{12}{4}}$
Example :
52 টি তাসের প্যাকেট থেকে যথেচ্ছ ভাবে 3 টি তাস টানা হলো। তিনটি তাসের মধ্যে 2 টি টেক্কা (Ace) ও 2 টি ইস্কাবন (Spade)হওয়ার সম্ভাবনা নির্নয় করো।
উত্তর: 52 টি তাসের প্যাকেট থেকে যথেচ্ছ ভাবে 3 টি তাস টানা হলে, $\small n(S)=\binom{52}{3}$
A= তিনটি তাসের মধ্যে 2 টি টেক্কা (Ace) পাওয়ার ঘটনা, n(A)=$\small \binom{4}{2}.\binom{48}{1}$
52 টি তাসের মধ্যে 4 টি টেক্কা আছে। সুতরাং 52 টি তাসের থেকে 3 টি তাস তুলতে হলে, ঘটনার জন্য 4 টি টেক্কা থেকে 2 টি টেক্কা তুলতে হবে, বাকি 48 টি তাসের থেকে 1 টি তাস তুলতে হবে।
B= 2 টি ইস্কাবন (Spade)হওয়ার ঘটনা n(B)=$\small \binom{13}{1}.\binom{39}{1}$
52 টি তাসের মধ্যে 13 টি ইস্কাবন আছে। সুতরাং 52 টি তাসের থেকে 3 টি তাস তুলতে হলে, B ঘটনার জন্য 13 টি ইস্কাবন থেকে 2 টি ইস্কাবন তুলতে হবে, বাকি 39 টি তাসের থেকে 1 টি তাস তুলতে হবে।
P(A)=$\small \frac{\binom{4}{2}.\binom{48}{1}}{\binom{52}{3}}$
P(B) $\small \frac{\binom{13}{1}.\binom{39}{1}}{\binom{52}{3}}$
- Part-2|Concept of Probability Theory|সম্ভাবনা তত্ত্ব| Class 12|
- Part-1|Concept of Probability Theory|সম্ভাবনা তত্ত্ব| Class 12|
তোমাদের কোনো প্রশ্ন বা মতামত থাকলে তা তোমরা এই পোস্টের নিচে থাকা কমেন্ট বক্সে জানাতে পারো ।
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক কর: Pothon Pathon Facebook Page
এছাড়া অন্যান্য প্রশ্নের উত্তর পেতে আমাদের মেল করতে পারো | আমাদের মেল আইডি হল: pothonpathononline@gmail.com
Post a Comment
Please put your valuable comments.