প্রিয় ছাত্রছাত্রীরা, পঠন-পাঠন অনলাইন ওয়েবসাইটে তোমাদের স্বাগত জানাই | আজকের এই পোস্টে আমরা মাধ্যমিক গণিত পাঠ্য বইয়ের (গণিত প্রকাশ) "অনুপাত ও সমানুপাত" অধ্যায়ের সমাধানগুলি আলোচনা করব | এই পোস্টে আমরা দশম শ্রেনীর গণিত প্রকাশ বইয়ের কষে দেখি 5.3 এর সমাধানগুলি আলোচনা করব | (WBBSE Class 10 Ganit Parakash Koshe Dekhi 5.3 Solutions)
মাধ্যমিক গণিতপ্রকাশ সমাধান
অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত
কষে দেখি - 5.3
1. a:b=c:d হলে দেখাই যে
(i) $\small (a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)$
(ii) $\small (a^2+ab+b^2):(a^2-ab+b^2)=(c^2+cd+d^2):(c^2-cd+d^2)$
(iii) $\small \sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=(pa+qc):(pb+qd)$
Ans: $\small a:b=c:d$
=$\small \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$(ধরি)
=$\small a=bk,c=dk$
(i)
LHS
$\small (a^2+b^2):(a^2-b^2)$
= $\small a^2(k^2+1)=a^2(k^2-1)$
= $\small (k^2+1)=(k^2-1)$
RHS
$\small (ac+bd):(ac-bd)$ ($\small ac=bdk^2$ বসিয়ে পাই)
= $\small bd(k^2+1):bd(k^2-1)$
= $\small (k^2+1):(k^2-1)$
LHS:RHS
LHS=RHS (প্রমাণিত)
(ii)
LHS
$\small (a^2+ab+b^2):(a^2-ab+b^2)$
= $\small b^2(k^2+k+1):b^2(k^2-k+1)$
= $\small (k^2+k+1):(k^2-k+1)$
RHS
$\small(c^2+cd+d^2):(c^2-cd+d^2)$
= $\small d^2(k^2+k+1):d^2(k^2-k+1)$
= $\small (k^2+k+1):(k^2-k+1)$
LHS=RHS (প্রমাণিত)
(iii)
LHS
$\small \sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}$
= $\small \sqrt{b^2k^2+d^2k^2}:\sqrt{b^2+d^2}$
= $\small k:1$
RHS
$\small (pa+qc):(pb+qd)$
= $\small (pbk+qdk):(pb+qd)$
= $\small k:1$
LHS=RHS (প্রমাণিত)
2. $\small x:a=y:b=z:c$
(i) $\small \frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}=\frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$
(ii) $\small \frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{xyz}{abc}$
(iii) $\small (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$
Ans:
$\small x:a=y:b=z:c=k$ (ধরি)
$\small \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$
Or, x=ak,y=bk,z=ck
(i)
LHS
$\small \frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}$
= $\small \frac{a^3k^3}{a^2}+\frac{b^3k^3}{b^2}+\frac{c^3k^3}{c^2}$
= $\small k^3(a+b+c)$
RHS
$\small \frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$
= $\small \frac{(ak+bk+ck)^3}{(a+b+c)^2}$
= $\small k^3(a+b+c)$
LHS=RHS (প্রমাণিত)
(ii) LHS
= $\small \frac{a^3k^3+b^3k^3+c^3k^3}{a^3+b^3+c^3}=k^3$
RHS
$\small \frac{xyz}{abc}$
= $\small \frac{abck^3}{abc}$
= $\small k^3$
LHS=RHS (প্রমাণিত)
$\small (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$
(iii) LHS
= $\small (a^2+b^2+c^2)(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)$
= $\small (a^2k+b^2k+c^2k)^2$
RHS
$\small(ax+by+cz)^2$
= $\small(a^2k+b^2k+c^2k)^2$
LHS=RHS (প্রমাণিত)
3. $\small a:b=c:d=e:f$ হলে, প্রমাণ করি যে
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত $\small \frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}$
(ii)$\small (a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)=(ab+cd+ef)^2$
Ans:
(i) $\small a:b=c:d=e:f=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{5a}{5b}=\frac{-7c}{-7d}=\frac{-13e}{-13f}=\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}$ (সংযোজন করে পাই)
(ii) LHS
$\small (a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)$
= $\small (b^2k^2+c^2k^2+e^2k^2)(b^2+d^2+f^2)$
= $\small (b^2k+d^2k+f^2k)^2$
= $\small (bk.b+dk.d+fk.f)^2$
= $\small (ab+cd+ef)^2$(RHS)
4. যদি a:b=b:c হয়, তবে প্রমাণ করি যে
(i) $\small (\frac{a+b}{b+c})^2=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$
(ii) $\small a^2b^2c^2(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})=a^3+b^3+c^3$
(iii) $\small \frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1$
Ans: $\small \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$(ধরি)
যেখানে $\small k\neq 0$
∴ $\small b=ck$
∴ $\small a=bk=ck^2$
(i) বামপক্ষ,
$\small (\frac{a+b}{b+c})^2$
= $\small (\frac{ck^2+ck}{ck+c})^2$
= $\small k^2$
ডানপক্ষ
$\small \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$
= $\small \frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2}$
= $\small k^2$
(ii) বামপক্ষ,
$\small a^2b^2c^2(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})$
= $\small c^2k^4 c^2 k^2c^2(\frac{1}{c^3k^6}+\frac{1}{c^3k^3}+\frac{1}{c^3})$
= $\small c^6k^6\frac{1}{c^3}(\frac{1}{k^6}+\frac{1}{k^3}+\frac{1}{1})$
= $\small c^3k^6 \frac{1+k^3+k^6}{k^6}$
= $\small c^3(1+k^3+k^6)$
= $\small (ck^2)^3+(ck)^3+c^3=a^3+b^3+c^3$
(iii) বামপক্ষ
$\small \frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}$
= $\small \frac{ck^2.ck.c(ck^2+ck+c)}{(c^2k^3+c^2k+c^2k^2)^3}$
= $\small \frac{c^6k^3(k^2+k+1)^3}{c^6k^3(k^2+k+1)^3}=1$
5. a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হল প্রমাণ করি যে
(i) $\small (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2$
(ii) $\small (b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2$
Ans: যেহেতু a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী
a:b=b:c=c:d
$\small \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k$ (ধরি), যেখানে $\small k\neq 0$
$\small c=dk$
$\small b=dk^2$
$\small a=dk^3$
(i)
বামপক্ষ,
$\small (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$= $\small (d^2k^6+d^2k^4+d^2k^2)(d^2k^4+d^2k^2+d^2)$
= $\small d^4k^2(k^4+k^2+1)^2$
ডানপক্ষ,
$\small (ab+bc+cd)^2$= $\small (dk^3.dk^2+dk^2.dk+dk.d)^2$
= $\small (d^2k^5+d^2k^3+d^2k)^2$
= $\small [d^2k(k^4+k^2+1)]$
= $\small d^4k^2(k^4+k^2+1)^2$
বামপক্ষ = ডানপক্ষ
(ii)
বামপক্ষ,
$\small (b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2$= $\small (dk^2-sk)^2+(dk-dk^3)^2+(dk^2-d)^2$
= $\small d^2(k^2-k)^2+d^2(k-k^3)^2+d^2(k^2-1)^2$
= $\small d^2[k^6+2k^4-2k^4-2k^3+2k^2-2k^2+1]$
= $\small d^2[k^3-1]^2=(dk^3-d)^2=(a-d)^2$
6. (i) যদি $\small \frac{m}{a}=\frac{n}{b}$ হয় তবে দেখাই যে
$\small (m^2+n^2)(a^2+b^2)=(am+bn)^2$
Ans: $\small \frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k$(ধরি), যেখানে $\small k\neq 0$
$\small m=ka$ এবং $\small n=bk$
বামপক্ষ,
$\small (m^2+n^2)(a^2+b^2)=(a^2k^2+b^2k^2)(a^2+b^2)=k^2(a^2+b^2)^2$
= $\small (a^2k+b^2k)^2=(a.ak+b.bk)^2=(am+bn)^2$ =ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) যদি $\small \frac{a}{b}=\frac{x}{y}$ হয়, তবে দেখাই যে
$\small (a+b)(a^2+b^2)x^3=(x+y)(x^2+y^2)a^3$
Ans:
ধরি, $\small \frac{a}{b}=\frac{x}{y}=k$(ধরি)
∴ $\small a=kb$ এবং $\small x=ky$
বামপক্ষ,
$\small (a+b)(a^2+b^2)x^3$
= $\small (bk+b)(b^2k^2+b^2)y^3k^3$
= $\small b^3y^3k^3(k+1)(k^2+1)$
ডানপক্ষ,
$\small (x+y)(x^2+y^2)a^3$
= $\small (yk+y)(y^2k^2+y^2)b^3k^3$
= $\small y(k+1)y^2(k^2+1)b^3k^3=b^3k^3k^3(k+1)(k^2+1)$
বামপক্ষ = ডানপক্ষ
(iii) যদি $\small \frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}$ হয় তবে দেখাই যে
$\small lx+my+nz=0$।
Ans:
ধরি, $\small \frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}=k$(ধরি)
= $\small \frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}=k$
বামপক্ষ,
$\small lx+my+nz$
= $\small lk(lm-n^2)+mk(mn-l^2)+nk(nl-m^2)$
= $\small k(l^2m-ln^2+m^2n-ml^2)+n^2l-m^2n)$
= $\small k\times 0=0$ (ডানপক্ষ)[প্রমাণিত]
(iv) $\small \frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}$ হলে দেখাই যে,
$\small (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0$
Ans:
$\small \frac{x}{b+c-a}=\frac{y}{c+a-b}=\frac{z}{a+b-c}=k$ (ধরি)
$\small x=(b+c-a)k$
$\small y=(c+a-b)k$
$\small z=(a+b-c)k$
বামপক্ষ,
$\small (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z$
= $\small (b-c)(b+c-a)k+(c-a)(c+a-b)k+(a-b)(a+b-c)k$
= $\small k[b^2-c^2-ab+ac+c^2-a^2-bc+ab+a^2-b^2-ac+bc]$
= $\small k\times 0 = 0$ (ডানপক্ষ)
(v) $\small \frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}$ হলে, দেখাই যে $\small \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}$
Ans:
$\small \frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}$
= $\small \frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2+4a+4}{a^2-4a+4}$ (উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই)
= $\small \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{(a^2+4a+4)-(a^2-4a+4)}{(a^2+4a+4)+(a^2-4a+4)}$
= $\small \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4.a.2}{2(a^2+4)}=\frac{4a}{a^2+4}$
(vi) $\small x=\frac{8ab}{a+b}$ হলে $\small \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}$ এর মান হিসাব করে লিখি|
Ans:
$\small x=\frac{8ab}{a+b}$
Or, $\small x=\frac{4a.2b}{a+b}$
Or, $\small \frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}$
$\small \frac{x}{4a}= \frac{x+4a}{x-4a}=\frac{a+3b}{b-a}$_______________{i}
আবার,
∵ $\small x=\frac{8ab}{a+b}$
= $\small \frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}$
= $\small \frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}$_______________{ii}
7. (i) $\small \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}$ হলে, দেখাই যে $\small \frac{a+b+c}{c}=2$
Ans:
$\small \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{7}=k$(ধরি), যেখানে $\small k\neq 0$
$\small a=3k,b=4k,c=7k$
বামপক্ষ,
$\small \frac{3k+4k+7k}{7k}=\frac{14k}{7k}=2$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(ii) $\small \frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}$ হলে দেখাই যে, $\small a+b+c=0=pa+qb+rc$
Ans:
$\small \frac{a}{q-r}=\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}=k$(ধরি), যেখানে $\small k\neq 0$
= $\small a=k(q-r),b=k(r-p),c=k(p-q)$
বামপক্ষ,
$\small a+b+c=k(q-r)+k(r-p)+k(p-q)=k\times 0=0$
ডানপক্ষ,
$\small pa+qb+rc$= $\small pk(q-r)+qk(r-p)+rk(p-q)=0$
(iii) $\small \frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}$ হলে দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x এর সমান|
Ans: $\small \frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}$
Or, $\small \frac{a^2x+aby}{a^2}=\frac{b^2x-aby}{b^2}$
বামপক্ষের লব ও হরকে a দিয়ে এবং ডানপক্ষের লব ও হরকে b দিয়ে গুন করে পাই]
= $\small \frac{a^2x+aby+b^2x-aby}{a^2+b^2}$(সংযোজন করে পাই)
= $\small \frac{x(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)}=x$(প্রমাণিত)
8.
(i) যদি $\small \frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}$ হয় তবে প্রমাণ করি যে c=a অথবা a+b+c+d=0
Ans: $\small \frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}= \frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}$ (একান্তর প্রক্রিয়া ব্যবহার করে পাই)
বা, $\small \frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1$
বা, $\small \frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{a+b+c+d}{d+a}$
বা, $\small (a+b+c+d) (\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a})=0$
হয় $\small (a+b+c+d)=0$ অথবা,
$\small (\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a})=0$
বা, $\small c+d=d+a$
বা, $\small c=a$
(ii) যদি $\small \frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}$ হয় দেখাই যে $\small \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}$
Ans: $\small \frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}=k$(ধরি), যেখানে $\small k\neq 0$
$\small x=k(b+c)$
$\small y=k(a+c)$
$\small z=k(a+b)$
এখন $\small \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}$
= $\small \frac{a}{k(c+a+a+b-b-c)}= \frac{b}{k(a+b+b+c-c-a)}= \frac{c}{k(b+c+c+a-a-b)}=\frac{1}{2k}$
$\small \frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}$ (প্রমাণিত)
(iii) $\small \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}$ হলে দেখাই যে $\small \frac{x+y+z}{a+b+c}= \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}$
Ans: $\small \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}$ (সংযোজন করে পাই)
= $\small \frac{x+y+ y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a}=\frac{x+y+z}{a+b+c}$
= $\small \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}$ (তৃতীয় ভগ্নাংশকে -1 দ্বারা গুন করে পাই)
= $\small \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{-z-x}{-3c+a}$
= $\small \frac{x+y+y+z-z-x}{3a-b+3b-c-3c+a}$ (সংযোজন করে পাই)
= $\small \frac{2y}{4a+2b-4c}=\frac{y}{2a+b-2c}$
= $\small \frac{by}{2ab+b^2-2bc}$ (লব ও হরকে b দিয়ে গুন করে পাই)_______________(i)
আবার, $\small \frac{x+y}{3a-b}=\frac{-y-z}{-3b+c}=\frac{z+x}{3c-a}$ (দ্বিতীয় ভগ্নাংশকে -1 দ্বারা গুন করে পাই)
= $\small \frac{x+y-y-z+z+x}{3a-b-3b+c+3c-a}$
= $\small \frac{x}{a-2b+2c}$
= $\small \frac{ax}{a^2-2ab+2ac}$ (লব ও হরকে a দিয়ে গুন করে পাই) _______________(ii)
আবার, $\small \frac{-x-y}{-3a+b}=\frac{-y-z}{-3b+c}=\frac{z+x}{3c-a}$ (প্রথম ভগ্নাংশকে -1 দ্বারা গুন করে পাই)
= $\small \frac{-x-y-y-z+z+x}{-3a+b-3b+c+3c-a}$
= $\small \frac{z}{-2a+2b+c}$
= $\small \frac{cz}{-2ac+2bc+c^2}$ (লব ও হরকে c দিয়ে গুন করে পাই) _______________(iii)
(i),(ii),(iii) থেকে পাই
$\small \frac{by}{2ab+b^2-2bc}=\frac{ax}{a^2-2ab+2ac}=\frac{cz}{-2ac+2bc+c^2}$
= $\small \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}$ (সংযোজন করে পাই)
(iv) $\small \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ হলে, দেখাই যে $\small \frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}$
Ans: $\small \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$(ধরি), , যেখানে $\small k\neq 0$
$\small x=ak,y=bk,z=ck$
এখন, $\small \frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}$
= $\small \frac{k^2(a^2-bc)}{a^2-bc}=\frac{k^2(c^2-ab)}{c^2-ab}=\frac{k^2(b^2-ca)}{b^2-ca}=k^2$
$\small \frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}$ (প্রমাণিত)
9.
(i) যদি $\small \frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}$ হয় তবে দেখাই যে $\small \frac{x}{y}=\frac{u}{v}$
Ans:
$\small \frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}$
= $\small \frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{3u+4v}{3u-4v}$ (একান্তর প্রক্রিয়া করে পাই)
= $\small \frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}$(যোগ ভাগ করে পাই)
= $\small \frac{2.3x}{2.4y}=\frac{2.3u}{2.4v}$
= $\small \frac{x}{y}=\frac{u}{v}$(প্রমাণিত)
(ii) $\small \frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}$ হলে প্রমাণ করি যে $\small a:b=c:d$
Ans: $\small \frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}$
$\small \frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d} $ (যোগ ভাগ করে পাই)
বা, $\small \frac{(a+b)}{(c+d)}=\frac{(a-b)}{(c-d)}$(একান্তর প্রক্রিয়া)
বা, $\small \frac{(a+b)}{(a-b)}=\frac{(c+d)}{(c-d)}$(যোগ ভাগ করে পাই)
বা, $\small \frac{(2a)}{(2b)}=\frac{(2c)}{(2d)}$
বা, $\small \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
∴ $\small a:b=c:d$ (প্রমাণিত)
10.
(i)$\small \frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1$ হলে, দেখাই যে $\small \frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+c}=1$
Ans:$\small \frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1$
$\small a^2=b+c$
$\small b^2=c+a$
$\small c^2=a+b$
LHS,
$\small \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{a}{a+a^2}+\frac{b}{b+b^2}+\frac{c}{c+c^2}$
= $\small \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
(ii) $\small x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1$ হলে দেখাই যে $\small \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1$
Ans: $\small x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1$
বা, $\small \frac{x^2}{by+cz}=\frac{y^2}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1$
$\small x^2=by+cz$
$\small y^2=cz+ax$
$\small z^2=ax+by$
বামপক্ষ,
$\small \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}$= $\small \frac{ax}{ax+x^2}+\frac{by}{by+y^2}+\frac{cz}{cz+z^2}$
= $\small \frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{ax+by+cz}+\frac{cz}{ax+by+cz}$
= $\small\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1$(ডান পক্ষ)
11.
(i) $\small \frac{x}{ax+by+zc}=\frac{y}{ay+bz+cx}=\frac{z}{az+xb+yc}$ এবং $\small x+y+z\neq 0$ হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত $\small \frac{1}{a+b+c}$ এর সমান|
Ans: $\small \frac{x}{ax+by+zc}=\frac{y}{ay+bz+cx}=\frac{z}{az+xb+yc}$
= $\small \frac{x+y+z}{ax+by+zc+ay+bz+cx+az+xb+yc}$ (সংযোজন করে পাই)
= $\small \frac{x+y+z}{(x+y+z)(a+b+c)}=\frac{1}{a+b+c}$
(ii) $\small \frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}$ হলে, প্রমাণ করি যে $\small (a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz$
Ans: $\small \frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}$
বা, $\small \frac{x^3-xyz}{ax}=\frac{y^3-zyx}{by}=\frac{z^3-xyz}{cz}$
(প্রথম ভগ্নাংশের লব ও হরকে x , দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরকে y, তৃতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরকে z দ্বারা গুণ করে পাই)
$\small \frac{x^3-xyz+y^3-zyx+z^3-xyz}{ax+by+cz}$(সংযোজন প্রক্রিয়া)
=$\small \frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{ax+by+cz}$ ___________{i}
আবার
$\small \frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}$ (সংযোজন প্রক্রিয়া)
= $\small \frac{x^2-yz+y^2-zx+z^2-xy}{a+b+c}$
= $\small \frac{(x+y+z)(x^2-yz+y^2-zx+z^2-xy)}{(x+y+z)(a+b+c)}$
= $\small \frac{(x^3+y^3+z^3-3xyz)}{(x+y+z)(a+b+c)}$ ___________{ii}
{i} ও {ii} থেকে পাই
$\small \frac{(x^3+y^3+z^3-3xyz)}{(x+y+z)(a+b+c)}$ = $\small \frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{ax+by+cz}$
বা, $\small (a+b+c)(x+y+z)=(ax+by+cz)$ (প্রমাণিত)
(iii) $\small \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}$ হলে প্রমাণ করি যে, $\small \frac{a(b-c)}{y^2-z^2}=\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}$
Ans: $\small \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k$(ধরি) , যেখানে $\small k\neq 0$
∴ $\small a=k(y+z)$
∴ $\small b=k(x+z)$
∴ $\small c=k(y+x)$
$\small \frac{a(b-c)}{y^2-z^2}=\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}$
= $\small \frac{k(y+z)[k(x+z)-k(y+x)]}{y^2-z^2}=\frac{k(x+z)[k(y+x)-k(y+z)]}{z^2-x^2}=\frac{k(y+x)[k(x+z)-k(y+z)]}{x^2-y^2}=-k^2$
∴ $\small \frac{a(b-c)}{y^2-z^2}=\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}$
Coming Soon......
তোমাদের কোনো প্রশ্ন বা মতামত থাকলে তা তোমরা এই পোস্টের নিচে থাকা কমেন্ট বক্সে জানাতে পারো ।
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক কর: Pothon Pathon Facebook Page
আমাদের Telegram Channel এ জয়েন হতে পাশের লিংক এ ক্লিক করন: Pothon Pathon Telegram
এছাড়া অন্যান্য প্রশ্নের উত্তর পেতে আমাদের মেল করতে পারো | আমাদের মেল আইডি হল: pothonpathononline@gmail.com
Tags: madhyamik ganit prakash solution, ganit prakash class 10 solutions, wbbse class 10, ratio and proportion solution, compound interest problems, wbbse class 10 math book pdf download, wbbse class 10 math solution pdf download, madhyamik math, simple interest problems, madhyamik ganit prakash solutions koshe dekhi 5.3, madhyamik math class 10,মাধ্যমিক অঙ্ক সমাধান, মাধ্যমিক গণিত, মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান, মাধ্যমিক গণিত অধ্যায় ভিত্তিক সমাধান, অনুপাত ও সমানুপাত সমাধান, দশম শ্রেণীর কষে দেখি 5.1
Ⓒ Copyright Pothon Pathon Digital - All Rights Reserved
Post a Comment
Please put your valuable comments.