Class 12
Continuity
অবিছিন্নতা বা সন্ততা
1.$\small f(x)=|x|+|x-1|$ হলে $\small f(x)$ [HS 2017]
a. x=0 এবং x=1 বিন্দুতে সন্তত
b. x=0 বিন্দুতে সন্তত এবং x=1 বিন্দুতে অসন্তত
c. x=0 বিন্দুতে অসন্তত এবং x=1 বিন্দুতে সন্তত
d.কোনোটিই নয়
উত্তর: a
2. যদি $\small f(x)=x sin \frac{1}{x}$ যখন $\small x\neq 0$ হয় এবং $\small x=0$ বিন্দুতে অপেক্ষক সন্তত হলে , $\small x=0$ বিন্দুতে অপেক্ষকের মান কত হবে ? [সংসদ Mock Test]
a.0
b.1
c.-1
d.অনির্ণেয়
উত্তর: a
3.$\small f(x)=\frac {sinx}{x} {x\neq 0}$ অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে সন্তত হলে f(0) এর মান কত হবে?
a.1
b.0
c.-1
d.অনির্ণেয়
উত্তর:a
4.$\small f(x)=\frac{x+2}{2x^2+x-1}$ অপেক্ষক যে সকল বিন্দুতে অসন্তত তা হল
a.$\small \frac{1}{2},1$
b.$\small - \frac{1}{2},1$
c.$\small \frac{1}{2},-1$
উত্তর: c
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :
1.x=c বিন্দুতে একটি অপেক্ষক f এর সন্ততা সম্বন্ধে লেখ|
2.যদি $\small f(x)=\frac{|x-a|}{x-a},x\neq a,f(a)=1$, তবে x=a বিন্দুতে f এর সন্ততার বিচার করো |
সংকেত:
Case1:যখন x>a তখন $\small f(x)=\frac{(x-a)}{x-a}=1$
Case2:যখন x<a তখন $\small f(x)=\frac{-(x-a)}{x-a}=-1$
3.প্রদত্ত অপেক্ষকের x=0 বিন্দুতে সন্ততা বিচার করো
$\small \frac{|x|}{x},যখন x\neq 0$
$\small \phi(x)$
$\small 0,যখন x=0$
সংকেত :
Case1:যখন x>0 তখন $\small f(x)=\frac{(x)}{x}=1$
Case2:যখন x<0 তখন $\small f(x)=\frac{-(x)}{x}=-1$
সুতরাং এটি অসন্তত
4.$\small f(x)=x^2,যখন -1\leq x \leq 2$
$\small=\frac{3(x^4-16)}{2(x^3-8)},যখন 2<x\leq 5$ অপেক্ষকটি x=2 বিন্দুতে সন্তত কিনা পরীক্ষা করো|
উত্তর:
সংকেত:
x=2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
$\small lim_{x\rightarrow 2-}f(x)= lim_{x\rightarrow 2+}f(x)$
5.$\small f(x)=x+sinx,যখন x<0$
=0,যখন $\small x\geq 0$ হলে x=0 বিন্দুতে $\small f^{'}(x)$ সন্তত কিনা বিচার করো |
সংকেত:
$\small f^{'}(x)=1+cosx$=$\small lim_{x\rightarrow 0-} f^{'}(x)=2$
$\small lim_{x\rightarrow 0+} f^{'}(x)=0$
$\small f(0)=0$
সুতরাং অপেক্ষকটি অসন্তত|
6.$\small f(x)=x+1,যখন x\leq 1$
$\small f(x)=3-ax^2,যখন x>1$,x=1 বিন্দুতে $\small f(x)$ সন্তত হলে $\small a$ এর মান কত হবে |
উত্তর:
সংকেত:
$\small lim_{x\rightarrow 1-}f(x)=2$
$\small lim_{x\rightarrow 1+}f(x)=3-a$
x=1 বিন্দুতে সন্তত হওয়ার শর্ত
$\small lim_{x\rightarrow 1-}f(x)=lim_{x\rightarrow 1+}f(x)$
সুতরাং $\small a=1$
7.$\small f(x)=(1+2x)^{\frac{1}{3x}},যখন x\neq 0$
$\small =k,যখন x=0$ k এর কোন মানের জন্য x=0 বিন্দুতে সন্তত হবে?
উত্তর:
সংকেত:
$\small Lt_{x\rightarrow 0} f(x)=Lt_{x\rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1.}{2x}\frac{1}{3}}$
=$\small e^{\frac{2}{3}}$, সুতরাং$\small k=e^{\frac{2}{3}}$.
8.যদি $\small f(x)=\frac{x^2-(p+3)x+3p}{x-2},যখন x\neq 2$
$\small =-1$ যখন x=2, x=2 এ $\small f(x)$ সন্তত হলে p এর মান কত?
উত্তর:
সংকেত:
$\small Lt_{x\rightarrow 2} f(x)=Lt_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-(p+3)x+3p}{x-2}$
$\small Lt_{x\rightarrow 2} \frac{(x-3)(x-p)}{x-2}$,
স্পষ্টত p=2হলে
$\small Lt_{x\rightarrow 2} \frac{(x-3)(x-p)}{x-2}=-1=f(2)$
9.প্রদত্ত অপেক্ষকটি $\small f(x)=\frac{sinx }{kx}+k,যখন x\neq 0$
$\small =2,যখন x=0$
x=0 বিন্দুতে সন্তত হলে k এর মানগুলো নির্ণয় করো |
উত্তর:
সংকেত:
$\small Lt_{x\rightarrow 0} f(x)=Lt_{x\rightarrow 0} \frac{sinx }{kx}+k$
=$\small \frac{1}{k}+k$
x=0 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন $\small \frac{1}{k}+k=2$
সুতরাং $\small k=1$
10.প্রদত্ত অপেক্ষকটি $\small f(x)=\frac{1-cos(ax)}{xsinx},যখন x\neq 0$
$\small =\frac{1}{2},যখন x=0$
x=0 বিন্দুতে সন্তত হলে a এর মানগুলো নির্ণয় করো |
উত্তর:
সংকেত :
$\small f(x)=\frac{1-cos(ax)}{xsinx}= \frac{2sin^2\frac{ax}{2}}{\frac{a^2x^2}{4}\frac{sinx}{x}\frac{4}{a^2}}$
সুতরাং লিমিট প্রয়োগ করে পাই
$\small a=\pm 1$
11.প্রদত্ত অপেক্ষকটি $\small f(x)=\frac{1-cos(ax)}{x^2},যখন x\neq 0$
$\small =1,যখন x=0$
x=0 বিন্দুতে সন্তত হলে a এর মানগুলো নির্ণয় করো |
উত্তর: a=$\small \pm \sqrt2$
12.$\small f(x)=\frac{log_{e}(1+sin2x)}{x},যখন x\neq 0$
$\small f(x)=a+1,যখন x = 0$ হলে a এর কোন মানের জন্য $\small f(x)$ অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে সন্তত হবে|
উত্তর:
সংকেত:
$\small Lt_{x\rightarrow 0} f(x)=Lt_{sin2x\rightarrow 0}\frac{log_{e}(1+sin2x)}{sin2x}Lt_{x\rightarrow 0}2\frac{sin2x}{2x}=2=a+1=f(0)$
=$\small a=1$
উদাহরণ:
1.দেখাও যে $\small f(x)=2x^2-3x+5+sinx+e^{3x}$ অপেক্ষকটি সর্বত্র সন্তত |
সমাধান:
Case I:
$\small f(x)=2x^2-3x+5$ এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক যা সর্বত্র সন্তত|
Case II:
$\small sinx,e^{3x}$ সর্বদা সন্তত |
এদের যোগফল সর্বদা সন্তত |
2.$\small f(x)=\frac{2x+1}{x^2-x_6}$অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমুহ নির্ণয় করো |
সমাধান:
$\small f(x)=\frac{2x+1}{x^2-x_6}$
বা,$\small (x^2-x-6)=0$
বা,$\small (x-3)(x+2)=0$
বা, $\small x=3,-2$
যেহুতু $\small f(x)$ একটি মূলদ অপেক্ষক তাই এটি $\small x=3,-2$ ব্যতীত সর্বত্র সন্তত|
3.$\small f(x)=5x-a,0<x\leq 1$
$\small =4x^3-3x,1<x<2$
x=1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হলে a এর মান নির্ণয় করো |
সমাধান:
যেহুতু x=1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত তাই
$\small f(1+0)=f(1)$
বা, $\small lim_{x\rightarrow 1+}f(x)=f(1)$
বা, $\small lim_{x\rightarrow 1+}4x^3-3x=5-a$
বা, $\small 1=5-a$
বা, $\small a=4$
$\small f(x)$ অপেক্ষক $\small x=1$ বিন্দুতে সন্তত হলে $\small a=4$ হবে|
4.দেখাও যে $\small f(x)=x sin\frac{1}{x},x\neq 0$
$\small =0,x=0$
অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে সন্তত |
সমাধান:
Sandwich এর উপপাদ্য অনুযায়ী
যেহতু $\small x\neq 0$
$\small |sin\frac{1}{x}|\leq 1$
=$\small |xsin\frac{1}{x}|\leq |x|$
$\small Lim_{x\rightarrow 0}|x|=0$,
=$\small Lim_{x\rightarrow 0}xsin\frac{1}{x}=0=f(0)$
তাই $\small x=0$ তে $\small f(x)$ সন্তত |
5.$\small f(x)=|x-1|+|x+1|$অপেক্ষকটির $\small x=1$ এবং $\small x=-1$ বিন্দুতে সন্ততা সম্বন্ধে আলোচনা করো |
সমাধান:
$\small 1-x-(1+x),x\leq-1$
$\small f(x) = 1-x+x-1,-1\leq x \leq 1$
$\small x-1+(1+x),x\geq 1$
$\small -2x,x\leq-1$
$\small f(x) = 2,-1\leq x \leq 1$
$\small 2x,x\geq 1$
x=1 বিন্দুতে সন্ততা নির্ণয়:
$\small lim_{x\rightarrow 1-}f(x)=2$
$\small lim_{x\rightarrow 1+}f(x)=2$
$\small f(1)=2 $
x=1 বিন্দুতে সন্তত
x=-1 বিন্দুতে সন্ততা নির্ণয়:
$\small lim_{x\rightarrow -1-}f(x)=2$
$\small lim_{x\rightarrow -1+}f(x)=2$
$\small f(-1)=2 $
x=-1 বিন্দুতে সন্তত|
6. $\small =\frac{sin(a+1)x+sinx}{x},x<0$
$\small f(x)=c , x=0$
$\small = \frac{\sqrt x+bx^2+\sqrt x}{bx\sqrt x},x>0$
x=0 তে f(x) সন্তত হলে $\small a,b,c$ এর মান নির্ণয় করো|
সমাধান:
x=0 বিন্দুতে $\small f(x)$ সন্তত হবে যখন
$\small Lt_{x\rightarrow 0-}f(x)=Lt_{x\rightarrow 0+}f(x)=f(0)$
$\small Lt_{x\rightarrow 0-}f(x)$
=$\small Lt_{x\rightarrow 0-} \frac{sin(a+1)x+sinx}{x}$
=$\small (a+1)+1$
$\small Lt_{x\rightarrow 0+}f(x)$
=$\small Lt_{x\rightarrow 0+}\frac{\sqrt x+bx^2+\sqrt x}{bx\sqrt x}$
=$\small \frac{1}{2}$
সুতরাং, $\small a+2=\frac{1}{2}=c$
বা, $\small a=-\frac{3}{2}$,$\small c=\frac{1}{2}$,$\small b$ কখনোই $\small 0$ বাদে বাকি যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে |
7.$\small f(x)=[x]+[-x],যখন x\neq 1$
$\small=\lambda,যখন x=1$
$\small \lambda$ এর মান কত যখন f(x) অপেক্ষক $\small x=1$ বিন্দুতে সন্তত |
সমাধান:
$\small Lt_{x\rightarrow 1-} [x]+[-x]$=$\small 0+(-1)$=$\small -1$
$\small Lt_{x\rightarrow 1+} [x]+[-x]$=$\small 1+(-2)$=$\small -1$
সুতরাং $\small \lambda $ এর মান $\small -1$ হলে $\small x=-1$ বিন্দুতে অপেক্ষক সন্তত হবে |
8.$\small sin|x|- cos|x|$ অপেক্ষকটির সন্ততা সম্পর্কে আলোচনা করো |
সমাধান:
প্রথম ধাপ: $\small f(x)=x$ একটি বহুপদী অপেক্ষক তাই এটি সর্বত্র সন্তত, তাই $\small |f(x)|= |x|$ এটিও সর্বত্র সন্তত,$\small g(x)=sinx$ও সর্বত্র সন্তত |
দ্বিতীয়ধাপ: Composition function এর সুত্র অনুযায়ী $\small g(|f(x)|)$ একটি সর্বত্র সন্তত অপেক্ষক |
তৃতীয় ধাপ: একই ভাবে $\small cos|x|$ একটি সন্তত অপেক্ষক|
চতুর্থ ধাপ: $\small sin|x|$ ও $\small cos|x|$ এর বিয়োগফল সর্বদা সন্তত |
9.যদি $\small f(x)=\frac{|x|-x}{x},যখন x\neq 0ও 1 যখন x=0$, তাইলে দেখাও যে অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে অসন্তত |
সমাধান:
$\small Lt_{x\rightarrow 0+}f(x)$
$\small =Lt_{x\rightarrow 0+}\frac {|x|-x}{x}$
$\small =Lt_{x\rightarrow 0+}\frac {|x|-x}{x}$
$\small =0$
কিন্তু $\small f(0)=1$ তাই $\small x=0$ বিন্দুতে $\small f(x)$ অসন্তত |
10.দেখাও যে, $\small f(x)=[x^2]-[x]^2$, যেখানে [x] হল বৃহত্তম অখন্ড সংখ্যা অপেক্ষক (G.I.F), অপেক্ষক x=1 বিন্দুতে সন্তত |
সমাধান:
$\small Lt_{x\rightarrow 1-} f(x)=Lt_{x\rightarrow 1-}[x^2]-[x]^2$
=$\small Lt_{x\rightarrow 1-}[x^2]-Lt_{x\rightarrow 1-}[x]^2$
=$\small 0-0$
$\small Lt_{x\rightarrow 1+} f(x)=Lt_{x\rightarrow 1+}[x^2]-[x]^2$
=$\small Lt_{x\rightarrow 1+}[x^2]-Lt_{x\rightarrow 1+}[x]^2$
=$\small 0-0$
$\small f(1)=[1]-[1]^2=0$
x=1 বিন্দুতে f(x) সন্তত |
MCQ Type Questions
1. $\small \frac{sin5x}{x},x\neq 0$
$\small f(x)$
$\small k,x=0$
অপেক্ষকটি $\small x=0$তে সন্তত হলে, $\small k$ এর মান হবে :
a.1
b.$\small \frac{1}{5}$
c.5
d. কোনোটিই নয়
2.$\small \frac{3x+2}{x^2-x-12}$ অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলো কী কী?
a.4,3
b.-4,3
c.4,-3
d.-4,-3
3. $\small \frac{1-cos2x}{x^2},x\neq 0$
$\small f(x)$
$\small a,x=0$
$\small x=0$ তে $\small f(x)$ সন্তত হলে,a=?
a.$\small \frac{1}{2}$
b.$\small -1$
c.$\small 2$
d.$\small 1$
4.নিচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
a.$\small f(x)=sin2x+cos3x+e^x$ সর্বত্র সন্তত নয়
b. ধ্রুবক অপেক্ষক সর্বত্র সন্তত নয়
c.বহুপদী অপেক্ষক সর্বত্র সন্তত নয়
d.$\small \frac{x^2+3x+2}{x+1}$ অপেক্ষকের কোনো অসন্তত বিন্দু নেই
5.$\small f(x)=\frac{1}{sinx-cosx}$ এর অসন্তত বিন্দুগুলো কী কী?
a.$\small n\pi,n\epsilon Z$
b.$\small n\pi+\frac{\pi}{4},n\epsilon Z$
c.$\small n\pi+\frac{\pi}{2},n\epsilon Z$
d.কোনোটিই নয়
👉Short Answer types Questions:[প্রত্যেকটির মান 4]
Q1. $\small \frac{1-coskx}{xsinx},x=0$
$\small f(x)$
$\small \frac{1}{2},x=0$
অপেক্ষক $\small x=0$ তে সন্তত হলে $\small k$ এর মান কত?
Q2. $\small asin\frac{\pi}{2}(x+1),x\leq 0$
$\small f(x)$
$\small \frac{tanx-sinx}{x^3},x>0$
$\small a$ এর মান কত হলে $\small f(x)$ অপেক্ষকটি $\small x=0$ বিন্দুতে সন্তত হবে ?
Q3. $ \small \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1},x\neq 0$
$\small f(x)$
$\small 0,x=0$
অপেক্ষকটি $\small x=0$ তে অসন্তত|
Q4. $ \small \frac{x-4}{|x-4|}+a,x< 4$
$\small f(x)=a+b,x=4$
$\small \frac{x-4}{|x-4|}+b,x>4$
অপেক্ষকটি x=4 বিন্দুতে সন্তত হলে $\small a,b$ এর মান কত ?
Q5.দেখাও যে $\small f(x)=|x-2|+|x+2|$ অপেক্ষকটি $\small x=2$ এবং $\small x=-2$ তে সন্তত |
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক কর: Pothon Pathon Facebook Page
আমাদের Telegram Channel এ জয়েন হতে পাশের লিংক এ ক্লিক করন: Pothon Pathon Telegram
এছাড়া অন্যান্য প্রশ্নের উত্তর পেতে আমাদের মেল করতে পারো | আমাদের মেল আইডি হল: pothonpathononline@gmail.com
Tags: continuity, continuity and differentiability, continuity equation, continuity and differentiability class 12, অবিছিন্নতা বা সন্ততা, continuity and differentiability in bengali, limit class 12 ncert, limit class 12 math, limit class 12 formula, limit questions class 12, limit formulas class 12 pdf, limit solutions class 12, class 12 limit and continuity, সীমা, limit in bengali, derivative, derivative formulas, derivative meaning, derivative calculator, derivative calculus, derivative in bengali, derivative rules, derivative examples, derivative of tanx, derivative of log x, derivative of secx, chain rule, অবকলন , differentiation, differentiation formula, differentiation equation, differentiation of tan x, differentiation of log x, differentiation product rule, differentiation chain rule,
Post a Comment
Please put your valuable comments.