Limit|Class 12| Important formulas| Examples|সীমা

 

Limit(সীমা)

Class 12(দ্বাদশ শ্রেণী)

সীমার সূত্র : 

১. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac {e^x-1}{x}=1$
২. $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac {a^x-1}{x}$=$\small log_{e}a$
৩. $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac {log_{e}(1+x)}{x}$=$\small 1$
৪. $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$=$\small e$
৫. $\lim_{x\rightarrow 0}(1+ax)^{\frac{1}{x}}$=$\small e^a$
৬. $ \lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x$=$\small e$
৭. $\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}$=$\small e$
৮. $\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{a}{x})^x$=$\small e^a$
৯. $\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}$=$\small e$ 

১০. $\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=\small e^{\lim_{x\rightarrow a}[f(x)-1]g(x)}$

নিম্ন লিখিত সীমাগুলোর মান নির্ণয় করো:

1. $\small lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3n^2+2n-5}{2n^3-3n+7}$=?

সামধান: 

লব ও হরকে $\small n^3$ দিয়ে ভাগ করো| এবং আমরা জানি যদি $\small n\rightarrow \infty$ তাহলে $\small \frac{1}{n} \rightarrow  0 $,$\small \frac{1}{n^2} \rightarrow  0 $,$\small \frac{1}{n^3} \rightarrow  0 $

 =$\small lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}-\frac{5}{n^3}}{2-\frac{3}{n^2}+\frac{7}{n^3}}$

=$\small \frac{0}{2}$

উত্তর : 0 

 

2.$\small lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1^3+2^3+....+n^3}{n^4}$=?

সমাধান: $\small 1^3+2^3+....+n^3={\frac{n(n+1)}{2}}^{2}$

আমরা জানি যদি $\small n\rightarrow \infty$ তাহলে $\small \frac{1}{n} \rightarrow  0 $

=$\small \frac{1}{4} lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^2$

=$\small \frac{1}{4}$

উত্তর: $\frac{1}{4}$

 

3.$\small lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {n+\sqrt {n+\sqrt n}}}$=?

সমাধান: লব ও হরকে $\small \sqrt n$ দিয়ে ভাগ করে ও করণী নিরসন করে পাই,

=$\small lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt {1+\sqrt {\frac{1}{n}+\sqrt \frac{1}{n^3}}}}$

=1

উত্তর: 1

4. $\small lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)!-n!}$=?

সমাধান: 

=$\small lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)n!-n!}$

=$\small lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(n+1)-1}$

=$\small 0$

উত্তর: 0

5.$\small lim_{x\rightarrow  0}\frac{x-1+cosx}{x}^{\frac{1}{x}}$=?

সমাধান:১০ নম্বর সূত্র ব্যবহার করে পাই 

= $\small lim_{n\rightarrow  0}e^{\frac{x-1+cosx-1}{x}\frac{1}{x}}$

= $\small lim_{n\rightarrow  0}e^{\frac{1-cosx}{x^2}}$

=$\small lim_{n\rightarrow  0}e^{-\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}}$

= $\small \frac{1}{\sqrt e}$

উত্তর: $\small \frac{1}{\sqrt e}$

 

6.$\small lim_{x\rightarrow  0}(sinx+cosx)^\frac{1}{x}=?$.

সমাধান:১০ নম্বর সূত্র ব্যবহার করে পাই 

= $\small e^{lim_{x\rightarrow  0}(sinx+cosx-1)\frac{1}{x}}$

= $\small e^{lim_{x\rightarrow  0}(2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-2sin^2\frac{x}{2})\frac{1}{x}}$

=$\small e^{1.1}$ =$\small e$

 

7.$\small lim_{x\rightarrow  4}\frac{(cos\alpha)^x-(sin\alpha)^x-cos2\alpha}{x-4}=?$

সমাধান: 

=$\small lim_{x\rightarrow  4}\frac{(cos\alpha)^x-(sin\alpha)^x-(cos^2\alpha-sin^2\alpha)(cos^2\alpha+sin^2\alpha)}{x-4}$

=$\small lim_{x\rightarrow  4}\frac{(cos\alpha)^x-(sin\alpha)^x-cos^4\alpha+sin^4\alpha}{x-4}$

=$\small lim_{x\rightarrow  4}\frac{(cos\alpha)^4[(cos\alpha)^{x-4}-1]-(sin\alpha)^4[(sin\alpha)^{x-4}-1]}{x-4}$

=$\small cos^4\alpha log_{e}(cos\alpha)-sin^4\alpha log_{e}(sin\alpha)$

8.$\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-e^{2x}}{x}$[HS2003]

সমাধান:

=$\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{(e^{3x}-1)-(e^{2x}-1)}{x}$

=$\small (3-2)=1$

9.$\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{log(1+5x)}=?$[HS1996]

সমাধান: 

সংকেত: 

=$\small\frac{3}{5} lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{e^{3x}-1}{3x}}{\frac{log(1+5x)}{5x}}$

=$\small \frac{3}{5}$

 

10.$\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1+e^{-\frac{1}{x}}}=?$

সমাধান: 

বামহস্ত সীমা:

$\small lim_{x\rightarrow 0-}\frac{x}{1+e^{-\frac{1}{x}}}=?$

যখন ,$\small x\rightarrow 0-$,

তখন$\small  \frac{1}{x}\rightarrow -\infty$,

$\small  -\frac{1}{x}\rightarrow \infty$,

$\small e^{-\frac{1}{x}}\rightarrow\infty$

$\frac{x}{1+e^{-\frac{1}{x}}}\rightarrow 0$

ডানহস্ত সীমা:

$\small lim_{x\rightarrow 0+}\frac{x}{1+e^{-\frac{1}{x}}}=?$

যখন ,$\small x\rightarrow 0+$,

তখন$\small  \frac{1}{x}\rightarrow +\infty$,

$\small  -\frac{1}{x}\rightarrow -\infty$,

$\small e^{-\frac{1}{x}}\rightarrow 0$,

$\frac{x}{1+e^{-\frac{1}{x}}}\rightarrow 0$

যেহুতু  ডানহস্ত সীমা=বামহস্ত সীমা

তাই $\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1+e^{-\frac{1}{x}}}=0$

👉নিজে করো: 

1.$\small lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{\frac{7}{2}}-4^{\frac{7}{2}}}{log_{e}(x-3)}=?$[HS 1991]

2.$\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{log_{e}(1+x)^{\frac{1}{2}}}=?$[HS 1988]

3.$\small lim_{x\rightarrow 0}\frac{(e^x-1)log_{5}(1+5x)}{sin^2x}$.[HS 2010]

4. প্রমান করো :

a. $\small lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ae^x+be^{-x}}{ce^x+de^{-x}}=\frac{a}{c}$

b. $\small lim_{x\rightarrow e}\frac{log_{e}x-1}{x-e}=\frac{1}{e}$

তোমাদের কোনো প্রশ্ন বা মতামত থাকলে তা তোমরা এই পোস্টের নিচে থাকা কমেন্ট বক্সে জানাতে পারো ।
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করতে পারো । আমাদের ফেসবুক পেজ জয়েন করার জন্য পাশের লিংকটিতে ক্লিক কর: Pothon Pathon Facebook Page



আমাদের Telegram Channel এ জয়েন হতে পাশের লিংক এ ক্লিক করন: Pothon Pathon Telegram


এছাড়া অন্যান্য প্রশ্নের উত্তর পেতে আমাদের মেল করতে পারো | আমাদের মেল আইডি হল: pothonpathononline@gmail.com



Tags: limit class 12 ncert, limit class 12 math, limit class 12 formula, limit questions class 12, limit formulas class 12 pdf, limit solutions class 12, class 12 limit and continuity, সীমা, limit in bengali,derivative, derivative formulas, derivative meaning, derivative calculator, derivative calculus, derivative in bengali, derivative rules, derivative examples, derivative of tanx, derivative of log x, derivative of secx, chain rule, অবকলন , differentiation, differentiation formula, differentiation equation, differentiation of tan x, differentiation of log x, differentiation product rule, differentiation chain rule,